28. 多項式: 梯段函數
式子 */ x + s * i. n
一般稱為階乘函數 ，但為了避免與 「!」 函數弄混，吾人稱之為梯段函數；其定義的各因子間的差異為階差 s,
如梯段採礦的階梯。 梯段函數在精算作業與差分方程很有用。
階段方程為乘冪 ^
(在s=:0的案例為相等)的變形，由 合身連接詞 在其變異 ^!.s提供。
例如:
x + s * i. n [ x=: 7 [ n=: 5 [ s=: _1
7 6 5 4 3
(*/x + s * i. n);(x ^!.s n);(x ^!.0 n);(x^n)
+----+----+-----+-----+
|2520|2520|16807|16807|
+----+----+-----+-----+
片語 +/c * x^!.s i.#c
稱為梯段多項式，如同 +/c*x^i.#c
被稱為乘冪多項式。 吾人定義副詞 P 為應用於任意階差 s 以提供相對應的梯段多項式:
P=: 1 : '+/@([ * ] ^!. x. i.@#@[)"1 0'
c=: 1 3 3 1 [ d=: 1 7 6 1 [ x=: 0 1 2 3 4
(c p. x);(c 0 P x);(d _1 P x);(d p.!._1 x)
+-------------+-------------+-------------+-------------+
|1 8 27 64 125|1 8 27 64 125|1 8 27 64 125|1 8 27 64 125|
+-------------+-------------+-------------+-------------+
如前例所示，梯段多項式同等於 (適當選擇係數)普通多項式。兩者間的轉換以如下之矩陣乘積：
VM=: 1 : '[ ^!.x./ i.@#@]'
TO=: 2 : '(x. VM %. y. VM)~ @i.@#'
(0 TO _1 c) +/ . * c
1 7 6 1
矩陣 0 TO _1 and _1 TO 0 為相互可逆，且與Stirling數有關：
(0 TO _1 i.5);(_1 TO 0 i.5)
+---------+------------+
|1 0 0 0 0|1 0 0 0 0|
|0 1 1 1 1|0 1 _1 2 _6|
|0 0 1 3 7|0 0 1 _3 11|
|0 0 0 1 6|0 0 0 1 _6|
|0 0 0 0 1|0 0 0 0 1|
+---------+------------+
梯段多項式也可由 p.!.s 得到。
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